Лучше: принимать душ.
Предложный падеж с местным значением: в зимнем лесу.
Верен второй вариант.
Если ответить коротко, то это предложный падеж, а если более подробно и точно, то это так называемый местный падеж (локатив) – одно из подзначений предложного падежа. См. ответы на вопросы № 263338 и 264234.
Вариант ходить за водой стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи.
Нужна точка в конце предложения.
Варианты произошедшая и происшедшая равноправны.
Во избежание путаницы лучше: в торговом центре "Электронный рай". Если в сочетании лес доменов слово лес используется в переносном значении, корректно: в лесу доменов (находиться); в лесе доменов (разбираться).